【题目】如图所示△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分线交于D点,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:四边形CEDF为正方形;
(2)若AC=6,BC=8,求CE的长.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】
(1)过点D作DN⊥AB于点N,先证明四边形FCED是矩形,再由角平分线上的点到角两边的距离相等可知,DF=DE=DN,即可判定矩形FCED是正方形;
(2)根据勾股定理求出AB,△ABC可以拆分为△ACD,△BCD,△ABD三个小三角形,根据面积大三角形面积等于三个小三角形面积之和建立等量关系,可求出CE.
(1)证明:过点D作DN⊥AB于点N,
∵∠C=90°,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,
∴四边形FCED是矩形,
又∵∠A,∠B的平分线交于D点,
∴DF=DE=DN,
∴矩形FCED是正方形;
(2)解:∵AC=6,BC=8,∠C=90°,
∴AB=10,
∵四边形CEDF为正方形,
∴DF=DE=DN,
∴,
则,
故EC==2.
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【题目】材料阅读:如图①所示的图形,像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
解决问题:
(1)观察“规形图”,试探究与
,
,
之间的数量关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下两个问题:
Ⅰ.如图②,把一块三角尺放置在
上,使三角尺的两条直角边
,
恰好经过点
,
,若
,则
_____
.
Ⅱ.如图③,平分
,
平分
,若
,
,求
的度数.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线,延长DF交AN于点E,连接CE.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)填空:①若BC=AB=4,则四边形ABDE的面积为 .
②当△ABC满足 时,四边形ADCE是正方形.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y=(x>0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD=
OC,且△ACD的面积是6,连接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,D是半圆O上一点,连接OD,BD,∠ABD=30°,过A点作半圆O的切线交OD的延长线于点G,点E是上的一个动点,连接AD、DE、BE.
(1)求证:△ADG≌△BOD;
(2)填空:
①当∠DBE的度数为 时,四边形DOBE是菱形;
②连接OE,当∠DBE的度数为 时,OE⊥BD.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,是直角三角形,
,点
的坐标分别为
,
(1)求过点的直线的函数表达式
(2)在轴上找一点
,连接
,使得
与
相似(不包括全等),并求点
的坐标;
(3)在⑵的条件下,如分别是
和
上的动点,连接
,设
,问是否存在这样的
使得
与
相似,如果存在,请求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】《朗读者》自播以来,以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀,感动了数以亿计的观众,沭阳县某中学开展“朗读”比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示。
⑴根据图示填写表格;
平均数 | 中位数 | 众数 | |
九⑴班 | 85 | 85 | |
九⑵班 | 80 |
⑵如果规定成绩较稳定的班级胜出,你认为哪个班级能胜出?说明理由。
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【题目】如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点.∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状: ;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP是等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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