Question

【题目】如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：四边形CEDF为正方形；

（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）过点D作DN⊥AB于点N，先证明四边形FCED是矩形，再由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，DF=DE=DN，即可判定矩形FCED是正方形；

（2）根据勾股定理求出AB，△ABC可以拆分为△ACD，△BCD，△ABD三个小三角形，根据面积大三角形面积等于三个小三角形面积之和建立等量关系，可求出CE.

（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，

∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，

∴四边形FCED是矩形，

又∵∠A，∠B的平分线交于D点，

∴DF＝DE＝DN，

∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，

∴AB＝10，

∵四边形CEDF为正方形，

∴DF＝DE＝DN，

∴，

则，

故EC＝＝2．