Question

如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C点，将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D，E两个不同的点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：首先求出抛物线与坐标轴交点坐标，求出直线BC的解析式，进而利用函数有两个交点，利用根的判别式得出k的取值范围．

解答：解：∵抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与x轴交于点C点，
∴y=0时，0=x²-2x-3
解得：x₁=-1，x₂=3，
故A（-1，0），B（3，0），
当x=0，y=-3，
故C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
故直线BC的解析式为：y=x-3，
设平移后解析式为：y=x²-2x-3+k，
则

y=x-3 y=x2-2x-3+k

，
则x-3=x²-2x-3+k，
x²-3x+k=0，
∵将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D，E两个不同的点，
∴△=b²-4ac=9-4k＞0，
则k＜

9

4

，
故k的取值范围是：0＜k＜

9

4

．

点评：此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及待定系数法求一次函数解析式，得出△=b²-4ac=9-4k＞0是解题关键．