矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示.A.C两点的坐标分别为A.直线y=34x与与BC边相交于点D．(1)求点D的坐标,(2)若抛物线y=ax2+bx经过D.A两点.试确定此抛物线的表达式,中抛物线的对称轴是否存在点P.使四边形ABDP的周长最小.并求出最小值,中抛物线的对称轴与直线OD交于点M.点Q为对称轴上一动点.以 Q.O.M为顶点的三角形与△OCD相似.直接写出符� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=

x与与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以 Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，直接写出符合条件的Q点的坐标．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）已知直线y=

x与BC交于点D（x，3），把y=3代入等式可得点D的坐标；
（2）如图抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得D点关于x轴的对称轴的对称点，根据两点之间线段最短：AP+PD=AE，可得AE的长，根据四边形的周长公式，可得ABDP的周长．
（4）证明Rt△P₁OM∽Rt△CDO以及Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO后推出CD=P₁P₂=4得出符合条件的坐标．

解答：解：（1）由题知，直线y=

x与BC交于点D（x，3）．
把y=3代入y=

x中得，x=4，
∴D（4，3）；
（2）抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax²+bx中，得

16a+4b=3

36a+6b=0

解得

a=-

．
∴抛物线的解析式为y=-

x²+

x；
（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，

直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得

6k+b=0

2k+b=3

，
解得

k=-

，
直线AE的解析式为y=-

，
当x=3时，y=-

×3+

，即P（3，

）．
四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+AE
=3+2+

AB2+BD2

=3+2+5=10；
（4）如图2：抛物线的对称轴与x轴交于点P₁，符合条件．

∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠CDO，
∵∠DCO=∠OQ₁M=90°，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．
∵x=-

=3，
∴该点坐标为Q₁（3，0）．
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P₂，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽Rt△DCO．
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，

∠Q2=∠ODC

∠OQ1Q2=∠OCD

Q1O=OC

，
∴RtQ₂Q₁O≌Rt△DCO（AAS）．
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）．
因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．

点评：此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质，综合性比较强，难度较大．

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