Question

如图，四边形ABCD中，如果∠A=∠B=90°，∠1=∠2=45°，使A，E，B在同一直线上，连接CD，并且AD=BE．
（1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）若AD=3，AB=7，请求出△ECD的面积；
（3）若P为CD的中点，连接PA、PB．试判断△APB的形状，并证明之．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ADE=∠BEC和DE=CE，即可证明RT△ADE≌RT△BEC，即可解题；
（2）由（1）结论可得AD=BE，即可求得AE的长，根据勾股定理可求得DE的长，即可解题；
（3）连结PE，易证∠PEB=∠PDA和PE=PD，即可证明△BEP≌△ADP，可得PA=PB，∠APD=∠BPE，根据∠APD+∠APE=90°，即可求得∠APB=90°，即可判定△APB为等腰直角三角形．

解答：（1）证明：∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
在△ADE和△BEC中，

∠A=∠B ∠ADE=∠BEC DE=CE

，
∴RT△ADE≌RT△BEC（AAS），
（2）解：∵RT△ADE≌RT△BEC，
∴AD=BE，
∵AD=3，AB=7，
∴AE=4．
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=5，
∴EC=5，
∴S_△CED=

1

2

×5×5=12.5；
（3）证明：△APB为等腰直角三角形，
理由：连结PE，

∵P是CD的中点，
∴PD=PC=

1

2

CD．
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴∠CEP=

1

2

∠DEC，∠EPD=90°，PE=

1

2

CD．
∴∠CEP=45°．PE=PD．
∴∠CEP=∠EDC．
∴∠CEP+∠BEC=∠EDC+∠ADE，
∴∠PEB=∠PDA．
在△BEP和△ADP中，

BE=AD ∠PEB=∠PDA PE=PD

，
∴△BEP≌△ADP（SAS），
∴PA=PB，∠APD=∠BPE，
∵∠APD+∠APE=90°，
∴∠BPE+∠APE=90°，
∴∠APB=90°．
∵PA=PB，
∴△APB为等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△BEP≌△ADP是解题的关键．