Question

【题目】如图，已知抛物线y=（x﹣1）2+k的图象与x轴交于点A（﹣1，0），C两点，与y轴交于点B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P使S△PAC=S△ABC？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，点B坐标为（0，﹣3）;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)把A(-1,0)代入抛物线y=（x﹣1）2+k,求出k即可解决问题.(2)存在.先求出△ABC的面积,再根据已知条件求出点P的纵坐标,利用待定系数法即可解决问题.(3)存在.分三种情形讨①当AQ=AB时,有两种情形a、当在x轴上方,;b、当 在x轴下方时,利用勾股定理即可解决问题.②当BA=BQ时,此时Q在x轴上,即(1,0)③当QA=QB时,点Q在AB的垂直平分线上,求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题.

（1）把A（﹣1，0）代入抛物线y=（x﹣1）2+k得，0=4+k，

∴k=﹣4，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，

令x=0，得y=﹣3，

∴点B坐标为（0，﹣3）．

（2）存在．如图1中，

理由：令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，

∴x=﹣1或3，

∴点A（﹣1，0），C（3，0），

∴S△ABC=×4×3=6，

∵S△PAC=S△ABC，

∴S△PAC=，设P（m，n），

则有×4×|n|=，

∴n=，

当n=时，m2﹣2m﹣3=，解得m=﹣或，此时P（﹣，）或（，），

当n=﹣时，m2﹣2m﹣3=﹣，解得m=或，此时P（，﹣）或（，﹣）．

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣，）或（，）或（，﹣）或（，﹣）．

（3）如图2中，存在．

①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q1在x轴上方，此时Q1（1，）；b、当Q2在x轴下方时，此时Q2（1，﹣）．

②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，Q3（1，0）．

③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，

∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），

∴直线AB解析式为y=﹣3x﹣3，线段AB的中点为（﹣，﹣），

设线段AB的中垂线的解析式为y=x+m．

∴﹣=﹣+m，

∴m=﹣，

∴线段AB的中垂线的解析式为y=x﹣，与对称轴的交点Q4（1，﹣1），

综上所述，满足条件的点Q坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，﹣1）．