Question

1．已知：2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$，3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$，4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$，…若10+$\frac{a}{b}$=10²×$\frac{a}{b}$（a、b为正整数），求分式$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{a{b}^{2}+{a}^{2}b}$•$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 观察已知等式得到分母为分子的平分减1，则a=10，b=99，再把原式的分子分母因式分解，接着约分得到原式=$\frac{a-b}{ab}$，然后把a和b的值代入计算即可．

解答 解：∵2+$\frac{2}{3}$=2²×$\frac{2}{3}$，3+$\frac{3}{8}$=3²×$\frac{3}{8}$，4+$\frac{4}{15}$=4²×$\frac{4}{15}$，
而10+$\frac{a}{b}$=10²×$\frac{a}{b}$（a、b为正整数），
∴a=10，b=10²-1=99，
$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{a{b}^{2}+{a}^{2}b}$•$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{（a+b）^{2}}{ab（a+b）}$•$\frac{（a-b）^{2}}{（a+b）（a-b）}$=$\frac{a-b}{ab}$，
当a=10，b=99时，原式=$\frac{10-99}{10×99}$=-$\frac{4}{45}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．