Question

5．如图，∠ACB=90°，AC=20．BC=15，AD=7，BD=24．
（1）求证：∠ADB=90°；
（2）求证：∠ACD=∠ABD．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB，由勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形即可；
（2）证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+1{5}^{2}}$=25，
∵7²+24²=25²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°；
（2）证明：∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明直角三角形是解决问题的关键．