Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）填空：

①当∠CAB＝　 　°时，四边形ADFE为菱形；

②在①的条件下，BC＝　 　cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）6.

【解析】

（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形；

（3）设菱形AEFD的边长为a，易知△AEF、△AFD都是等边三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．

（1）证明：∵EF∥AB，

∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB，

∵∠E＝∠EFA，

∴∠FAB＝∠CAB，

在△ABC和△ABF中，

，

∴△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形，

证明：∵∠CAB＝60°，

∴∠FAB＝∠CAB＝∠CAB＝60°，

∴EF＝AD＝AE，

∴四边形ADFE是菱形，

故答案为60．

（3）∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF＝∠CAB＝60°，

∴△AEF、△AFD都是等边三角形，

由题意：2×a2＝6，

∴a2＝12，

∵a＞0，

∴a＝2，

∴AC＝AE＝2，

在RT△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠CAB＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4，BC＝＝6．

故答案为6．