Question

7．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．

Answer 1

分析 如图，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，先根据平行线的性质得∠AEF=∠DFE，则根据角平分线定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}∠$DFE，则∠1=∠2，然后根据平行线的判定可判断EM∥FN，于是可判断“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．

解答 解：命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．
证明如下：如图，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠2=$\frac{1}{2}∠$DFE，
∴∠1=∠2，
∴EM∥FN，
即两直线平行，内错角的平分线互相平行．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．