Question

13．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{2x}$和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过M（a，b），N（a+1，b+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把（a，b）、（a+1，b+k）两点代入一次函数解析式可得k，易得解析式；
（2）解方程组求得A，B的坐标，即可得到结论；
（3）利用分类讨论的思想，当AO=PO时，易得OP=$\sqrt{2}$，得坐标；当AO=AP时，OP=2，易得P点坐标；当PO=AP时，PO=1，易得坐标．

解答 解：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）两点代入一次函数解析式y=2x-1可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2a-1}\\{b+k=2（a+1）-1}\end{array}\right.$，
解得：k=2．
故反比例函数的解析式为：y=$\frac{1}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），（-$\frac{1}{2}$，-2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}×$1×1=$\frac{3}{2}$；

（3）当AO=PO时
∵点A坐标是（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$，
∴P点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）；
当AO=AP时，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
当PO=AP时，PO=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
综上所述：点P坐标为：（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），（1，0），（2，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求解析式以及求反比例函数与一次函数的交点坐标，结合图象，分类讨论是解答此题的关键．