Question

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，以C为顶点在△ABC外侧作∠ACM=∠ABC．
（1）判断射线CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）延长BC到点D，使BC=CD，连接AD与⊙O交于点E，若AB=6，∠ABC=60°，则阴影部分的面积为$\frac{3}{2}$π．

Answer 1

分析 （1）由AB为直径得到∠OCB+∠ACO=90°，加上∠B=∠OCB，∠B=∠ACM，则∠ACO+∠ACM=90°，所以OC⊥CM，于是根据切线的判定定理即可得到CM为⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB=90°利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=$\sqrt{3}$BC=3$\sqrt{3}$，由OA=OC得到S_△AOC=S_△BOC，则可计算出S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{9}{4}$，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S_扇形EOC进行计算．

解答 解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
而∠B=∠ACM，
∴∠ACO+∠ACM=90°，即∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3，AC=$\sqrt{3}$BC=3$\sqrt{3}$，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，S_△AOC=S_△BOC，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}$，
∴阴影部分的面积=S_扇形EOC
=$\frac{60•π•{3}^{2}}{360}$$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{9}{4}$
=$\frac{3}{2}$π．
故答案为$\frac{3}{2}$π．

点评 本切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．