Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠OED=∠F，则易证得结论.

（2）由cosB＝，设BC=3x，AB=5x，根据OE∥BF，得∠AOE＝∠B，从而．因此列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值，进而得到⊙O的半径.

（1）如图，连接OE,

∵AC与⊙O相切于点E，

∴OE⊥AC，即∠OEC＝900.

∵∠ACB＝900，∴∠OEC＝∠ACB．∴OE∥BC.

∴∠OED＝∠F.

∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE．∴∠F＝∠ODE.

∴BD=BF.

（2）∵cosB＝，∴设BC=3x，AB=5x.

∵CF=1，∴.

由（1）知，BD=BF，∴．∴.

∴,.

∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴，即，解得，.

∴⊙O的半径为.

考点：1.切线的性质；2.平行的判定和性质；3.等腰三角形的判定和性质；4.锐角三角函数定义.