Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点且交x轴于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AB于Q，线段PQ的长度为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）问的条件下，D（m，$\frac{3}{4}m$）为平面直角坐标系内一点，当d取最大值时，直线DP交直线AB于点E，且PD=3DE，求此时D点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（4，0），B（0，4），再把A（4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组得到b=3，c=4，于是得到抛物线解析式为y=-x²+3x+4；
（2）如图1，根据二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，设P（t，-t²+3t+4），则Q（t，-t+4），则d=-t²+4t；
（3）利用二次函数的性质，由于d=-（t-2）²+4，则当t=2时，d有最大值，此时P点坐标为（2，6），如图2，作DH⊥PQ于H，EF⊥PQ于H，设E（n，-n+4），证明△PDH∽△PEF，利用相似比得到PH=$\frac{3}{4}$PF，DH=$\frac{3}{4}$EF，即6-$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$（6-n+4），m-2=$\frac{3}{4}$（n-2），然后消去n可求出m=$\frac{8}{3}$，于是得到D点坐标为（$\frac{8}{3}$，2）．

解答 解：（1）当x=0时，y=-x+4=4，则A（4，0）；当y=0时，-x+4=0，解得x=4，则B（0，4），
把A（4，0），B（0，4）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得b=3，c=4，
所以抛物线解析式为y=-x²+3x+4；
（2）如图1，

设P（t，-t²+3t+4），则Q（t，-t+4），
所以d=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t；
（3）d=-（t-2）²+4，当t=2时，d有最大值，此时P点坐标为（2，6），如图2，作DH⊥PQ于H，EF⊥PQ于H，

设E（n，-n+4），
∵DH∥EF，
∴△PDH∽△PEF，
∴$\frac{PH}{PF}$=$\frac{DH}{EF}$=$\frac{DP}{PE}$=$\frac{3}{4}$，
即PH=$\frac{3}{4}$PF，DH=$\frac{3}{4}$EF，
∴6-$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$（6-n+4），m-2=$\frac{3}{4}$（n-2），
∴m=$\frac{8}{3}$，
∴D点坐标为（$\frac{8}{3}$，2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，会利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．