【题目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M．问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（
，3）（2）
（3）存在，（ 
， 
）
【解析】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=
。
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=
，∠AOC=60°。
∴OH=
，CH="3" 。
∴C的坐标是（
，3）。
（2）∵抛物线
经过C（
，3）、A（
，0）两点，
∴
，解得
。∴此抛物线的解析式为
（3）存在。
∵
的顶点坐标为（
，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝300，所以ON＝
∴P（
）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E。
把
代入
得： 
。
∴ M（
， 
），E（
， 
）。
同理：Q（
，t），D（
，1）。
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，
即
，解得： 
， 
（舍去）。
∴ P点坐标为（
， 
）。
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（
， 
）。
（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。
（2）把C（
，3）、A（
，0）代入
得到方程组，求出方程组的解即可。
（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，据此列式求解。
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【题目】如图1，在6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．将图形F沿x轴向右平移1格得图形F1 ， 称为作1次P变换；将图形F沿y轴翻折得图形F2 ， 称为作1次Q变换；将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形F3 ， 称为作1次R变换．规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；Rn变换表示作n次R变换．
解答下列问题：
（1）作R4变换相当于至少作次Q变换；
（2）请在图2中画出图形F作R2007变换后得到的图形F4；
（3）PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形F5 ， 在图4中画出QP变换后得到的图形F6 ．
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【题目】
如图，在
中，已知
，
，点
是线段
上的动点（不与端点重合），点
是线段
上的动点，连接
、
，若在点、点的运动过程中，始终保证
。
（1）求证：
；
（2）当以点
为圆心，以
为半径的圆与相切时，求
的长；
（3）探究：在点、点的运动过程中，
可能为等腰三角形吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由。
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【题目】据农业农村部新闻部办公室2018年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排査和处置．在疫情排査过程中.某农场第一天发现3头生猪发病.两天后发现共有363头生猪发病，求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
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【题目】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
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