Question

已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，

   直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点

（1）如图1，当=且PE⊥AC时，求证：=；

（2）如图2，当=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？

（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连

   结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．

 

Answer 1

解：（1）如图1，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=∠PEC=90°．

又∵∠EPF=∠ACB=90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴∠PFC=90°，

∴∠PFB=90°，

∴∠AEP=∠PFB．

∵AC=BC，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，

∴PF=BF，=，

∴==；           （3分）

（2）（1）的结论不成立，理由如下：

连接PC，如图2．

∵=1，

∴点P是AB的中点．

又∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴CP=AP=AB．∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，CP⊥AB，

∴∠APE+∠CPE=90°．

∵∠CPF+∠CPE=90°，

∴∠APE=∠CPF．

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF，

∴AE=CF，PE=PF．

故（1）中的结论=不成立；    （6分）

（3）当△CEF的周长等于2+时，α的度数为75°或15°．

提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），

∴EC+CF=EC+AE=AC=2．

∵EC+CF+EF=2+，

∴EF=．

设CF=x，则有CE=2﹣x，

在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x²+（2﹣x）²=（）²，

整理得：3x²﹣6x+2=0，

解得：x₁=，x₂=．

①若CF=，如图3，

 

过点P作PH⊥BC于H，

易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣=，

在Rt△PHF中，tan∠FPH==，

∴∠FPH=30°，

∴α=∠FPB=30+45°=75°；                    （9分）

②若CF=，如图4，

过点P作PG⊥AC于G，

同理可得：∠APE=75°，

∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°．