Question

【题目】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，

已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值

解法一：设2x3﹣x2+m＝x+m＝（2x+1）（x2+ax+b）

则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b

比较系数得，解得∴m＝．

解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算取x＝，，故m＝

选择恰当的方法解答下列各题

（1）已知关于的多项式x2+mx﹣15有一个因式是x﹣3，m＝　 　．

（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值：

（3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）m＝﹣5，n＝20；（3）a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2

【解析】

（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；

（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），分别取x＝1和x＝2得关于m和n的二元一次方程组，求解即可；

（3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可．

解：（1）由题设知：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，

故m＝n﹣3，﹣3n＝﹣15，

解得n＝5，m＝2．

故答案为：2；

（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），

分别令x＝1和x＝2得：

，

解得：，

∴m＝﹣5，n＝20；

（3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），

∵（x+p）（x2+2x+1）

＝x3+（2+p）x2+（1+2p）x+p，

∴，

解得：，

∴多项式x3﹣x2+ax+b＝x3﹣x2﹣5x﹣3，

∴x3﹣x2﹣5x﹣3

＝（x﹣3）（x2+2x+1）

＝（x﹣3）（x+1）2，

∴a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．