Question

如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（-4，0）．是否存在经过点A的直线l，使得直线l与y轴所夹锐角等于

1

2

∠ABC？若存在，求出直线l的函数解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点A作∠BAD的平分线AF交x轴于点F，过点F作FG⊥AB于点G，求得点E的坐标后利用待定系数法确定直线的解析式即可．

解答：解：设直线l与x轴交于点E，过点A作∠BAD的平分线AF交x轴于点F，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠DAE=

1

2

∠ABC，∠AEO=90°-∠DAE=90°

1

2

∠ABC=

1

2

（180°-∠ABC）=

1

2

∠BAD，
∴∠AEO=

1

2

∠BAD=∠DAF，
由题意得：OA=3，OB=4，
∴AB=5，AG=3，OF=GF，BG=2，cos∠ABO=

OB

AB

=

4

5

=

BG

BF

，
∴BF=

5

2

，
∴OF=

3

2

，tan∠AEO=tan∠DAF=

3 2

3

=

1

2

，
∴

AO

OE

=

1

2

，
∴OE=6，
①当E（6.0）时直线的解析式为y=

1

2

x+3；
②当E（-6.0）时直线的解析式为y=-

1

2

x+3．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识，考查学生的猜想探究能力．解题时先直观地猜想，再按照从特殊到一般的方法去验证．