Question

如图，AD是△ABC的中线，
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）过点D作DE∥AB交AC于E，过点D作DF∥AC交AB于F，求证：DE=

1

2

AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）延长AD到E使AD=DM，连接BM，利用已知条件可证明△BDM≌△ADC，所以AM=2AD，BM=AC，由三角形的三边关系定理即可证明AB+AC＞2AD；
（2）根据三角形中位线定理即可证明DE=

1

2

AB．

解答：证明：（1）延长AD到E使AD=DM，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDM和△ADC中

BD=CD ∠BDM=∠ADC DM=DA

，
∴△BDM≌△ADC，
∴AC=BM，AM=2AD，
∵AB+BM＞AM，
∴AB+AC＞2AD；
（2）∵DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AF，
∵BD=CD，
∴BF=AF，
∴DE=

1

2

AB．

点评：本题考查了全等三角形的判断和性质、三角形的三边关系定理以及三角形中位线定理，题目的综合性较强，难度中等．