Question

【题目】将两块全等的三角板如图①楔放，其中∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠A'＝∠A＝30°．

（1）将图①中的△A'B'C顺时针旋转45°得图②，点P'是A'C与AB的交点，点Q是A'B'与BC的交点，求证：CP'＝CQ；

（2）在图②中，若AP'＝3，求CQ长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由“ASA”可证△A′CQ≌△ACP′，可得CP′=CQ；
（2）由直角三角形的性质和全等三角形的性质可求CP′=CQ=．

解：（1）∵将△A′B′C顺时针旋转45°，

∴∠ACA′＝45°，AC＝A′C，∠A＝∠A′，

∵∠A′CB′＝∠ACB＝90°，

∴∠BCA′＝∠ACA′＝45°，且AC＝A′C，∠A＝∠A′，

∴△A′CQ≌△ACP′（ASA）

∴CP′＝CQ；

（2）如图②，过点P′作P′E⊥AC，

∵∠A＝30°，AP′＝3，P′E⊥AC，

∴P′E＝1.5，

∵∠ACA′＝45°，P′E⊥AC，

∴CE＝P′E＝1.5，

∴P′C＝，

∴CP′＝CQ＝．