Question

【题目】一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0 的新三位自然数 m’（ m’可以与m相同），记m’=，在 m’ 所有的可能情况中，当|a+2b-c| 最小时，我们称此时的m’ 是m 的“幸福美满数”，并规定K (m) = a2 +2b2 -c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813 、138 ；因为|3+28－1｜＝ 18 ，｜8+ 21－3｜＝7，｜1 +23－8｜＝1，1< 7<18 ，所以138 是318的“幸福美满数”，K(318)=|12+232－82|=－45．

（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n ≤ 9 ，n为自然数），个位上的数字为0 ，求证：K (t )＝ 0；

（2）设三位自然数s＝100+10x + y(1≤ x ≤ 9,1≤y≤9, ,x y 为自然数) ，且x<y ．交换其个位与十位上的数字得到新数s’，若19s+8s’=3888，那么我们称s为“梦

想成真数”，求所有“梦想成真数”中K (s )的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）所有“梦想成真数”中K（s）的最大值为-17．

【解析】分析：（1）根据案例找出t变化后得到的新数，验证后即可得出

是t的“幸福美满数”．进而即可得出
（2）根据题意找出结合 即可得出根据即可得出的可能值，进而可找出s的“幸福美满数”和的值，取其最大值即可．

详解：(1)证明：按上述方法可得新数，

∵|n+2n0|=3n，|n+2×0n|=0，0<3n，

∴是t的“幸福美满数”.

∴

(2)根据题意得：

∵19s+8s′=3888，

∴19×(100+10x+y)+8×(100+10y+x)=3888，即2x+y=12.

∵

∴x=2，y=8；x=3，y=6.

∴s=128或s=136.

∵128是128的“幸福美满数”，136和316是136的“幸福美满数”，

∴K(s)=55、17或25.

∴所有“梦想成真数”中K(s)的最大值为17.