Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动.连结DF，DE, EF. 过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t(不考虑D、E、F在一条直线上的情况).

(1) 填空：当t= 时，AF=CE，此时BH= ；

(2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；

(3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S,△DEF的周长为C.

① 求S关于t的函数关系式；

② 直接写出周长C的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 、；（2）；（3）① ；② .

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．

（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）；

（3）分别表示出线段FD和线段AD的长，利用面积公式列出函数关系式即可．

（1）∵BC=AD=9，BE=4，

∴CE=9-4=5，

∵AF=CE，

即：3t=5，

∴t=，

∴，

即：，

解得BH=；

当t=时，AF=CE，此时BH=.

（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，又∵∠A=∠CBH=90°

∴△EBH∽△DAF ∴即∴BH=

当点F在点B的左边时，即t＜4时，BF=12-3t

此时，当△BEF∽△BHE时：即解得：

此时，当△BEF∽△BEH时： 有BF=BH， 即解得：

当点F在点B的右边时，即t＞4时,BF=3t-12

此时，当△BEF∽△BHE时：即解得：

（3）① ∵EH∥DF

∴△DFE的面积=△DFH的面积=；

② 如图

∵BE=4，

∴CE=5，根据勾股定理得，DE=13，是定值，

所以当C最小时DE+EF最小，作点E关于AB的对称点E'

连接DE，此时DE+EF最小，

在Rt△CDE'中，CD=12，CE'=BC+BE'=BC+BE=13，

根据勾股定理得，DE'=,

∴C的最小值=.