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【题目】在图1至图3中,点B是线段AC的中点,点DCE的中点,BCFCDG都是等边三角形,点MAE的中点,连接FG.

(1)如图1,若点EAC的延长线上,点M与点C重合,则FMG      等边三角形(填不是”)

(2)将图1中的CE缩短,得到图2.求证:FMG为等边三角形;

(3)将图2中的CE绕点E顺时针旋转一个锐角,得到图3.求证:FMG为等边三角形.

【答案】(1)是;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

(1)如图1,易证FM=BM=MD=MG, FMG=60°,即可得到FMG是等边三角形;(2)如图2,易证BD=BC+CD=AM,从而可得MD=AB.BCFCDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, FBC=60°, GDC=60°,从而可证到MD=BF,BM=GD,进而可得到FBM≌△MDG,则有MF=GM, BFM=DMG,从而可证到∠FMG=60°,即可得到FMG为等边三角形;(3)如图3,连接BM、DM,根据三角形中位线定理可得BMCE,BM= CE=CD,DMAC,DM=AC=BC.再根据BCFCDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, FBC=60°, GDC=60°,从而得到BF=BC=DM,BM=CD=GD, FBC=GDC.BMCE,DMAC,可得四边形BCDM是平行四边形,从而得到∠BMD=DCB=120°, CDM=MBC=60°,即可得到∠FBM=GDM=120°,即可得到FBM≌△MDG,则有MF=GM, FMB=MGD,从而可得∠FMG=BMD-FMB-GMD=BML,即可得到FMG为等边三角形.

(1)如图1,

∵点B是线段AC的中点,点DCE的中点,点MAE的中点,点M与点C重合,

AB=BM=AM=ME=MD=DE.

∵△BCFCDG都是等边三角形,点M与点C重合,

FM=BM,MD=GM,

FM=GM.

∵∠FMG=180°﹣60°﹣60°=60°,

∴△FMG是等边三角形.

故答案为:是;

(2)如图2,

∵点B是线段AC的中点,点DCE的中点,点MAE的中点,

AB=BC=AC,CD=DE=CE,AM=ME=AE,

BD=BC+CD=AC+CE=AE=AM,即BM+MD=BM+AB,

MD=AB.

∵△BCFCDG都是等边三角形,

BF=BC,CD=GD,FBC=60°,GDC=60°,

MD=AB=BC=BF,BM=BC﹣MC=MD﹣MC=CD=GD.

FBMMDG中,

∴△FBM≌△MDG,

MF=GM,BFM=DMG.

∵∠BFM+FMB+FBM=180°,DMG+FMB+FMG=180°,

∴∠FMG=FBM=60°,

∴△FMG为等边三角形;

(3)如图3,连接BM、DM,

∵点B是线段AC的中点,点DCE的中点,点MAE的中点,

BMCE,BM=CE=CD,DMAC,DM=AC=BC.

∵△BCFCDG都是等边三角形,

BF=BC,CD=GD,FBC=60°,GDC=60°,

BF=BC=DM,BM=CD=GD,FBC=GDC.

BMCE,DMAC,

∴四边形BCDM是平行四边形,

∴∠BMD=DCB=120°,CDM=MBC=60°,

∴∠FBM=GDM=120°.

FBMMDG中,

∴△FBM≌△MDG,

MF=GM,FMB=MGD,

∴∠FMG=BMD﹣FMB﹣GMD=BMD﹣MGD﹣GMD

=120°﹣(180°﹣120°)=60°,

∴△FMG为等边三角形.

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星期

增减

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