【题目】在图1至图3中,点B是线段AC的中点,点D是CE的中点,△BCF和△CDG都是等边三角形,点M为AE的中点,连接FG.
(1)如图1,若点E在AC的延长线上,点M与点C重合,则△FMG 等边三角形(填“是”或“不是”)
(2)将图1中的CE缩短,得到图2.求证:△FMG为等边三角形;
(3)将图2中的CE绕点E顺时针旋转一个锐角,得到图3.求证:△FMG为等边三角形.
【答案】(1)是;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)如图1,易证FM=BM=MD=MG, ∠FMG=60°,即可得到△FMG是等边三角形;(2)如图2,易证BD=BC+CD=AM,从而可得MD=AB.由△BCF和△CDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,从而可证到MD=BF,BM=GD,进而可得到△FBM≌△MDG,则有MF=GM, ∠BFM=∠DMG,从而可证到∠FMG=60°,即可得到△FMG为等边三角形;(3)如图3,连接BM、DM,根据三角形中位线定理可得BM∥CE,BM= CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.再根据△BCF和△CDG都是等边三角形,可得BF=BC,CD=GD, ∠FBC=60°, ∠GDC=60°,从而得到BF=BC=DM,BM=CD=GD, ∠FBC=∠GDC.由BM∥CE,DM∥AC,可得四边形BCDM是平行四边形,从而得到∠BMD=∠DCB=120°, ∠CDM=∠MBC=60°,即可得到∠FBM=∠GDM=120°,即可得到△FBM≌△MDG,则有MF=GM, ∠FMB=∠MGD,从而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-GMD=∠BML,即可得到△FMG为等边三角形.
(1)如图1,
∵点B是线段AC的中点,点D是CE的中点,点M为AE的中点,点M与点C重合,
∴AB=BM=AM=ME=MD=DE.
∵△BCF和△CDG都是等边三角形,点M与点C重合,
∴FM=BM,MD=GM,
∴FM=GM.
∵∠FMG=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴△FMG是等边三角形.
故答案为:是;
(2)如图2,
∵点B是线段AC的中点,点D是CE的中点,点M为AE的中点,
∴AB=BC=AC,CD=DE=CE,AM=ME=AE,
∴BD=BC+CD=AC+CE=AE=AM,即BM+MD=BM+AB,
∴MD=AB.
∵△BCF和△CDG都是等边三角形,
∴BF=BC,CD=GD,∠FBC=60°,∠GDC=60°,
∴MD=AB=BC=BF,BM=BC﹣MC=MD﹣MC=CD=GD.
在△FBM和△MDG中,
,
∴△FBM≌△MDG,
∴MF=GM,∠BFM=∠DMG.
∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°,∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°,
∴∠FMG=∠FBM=60°,
∴△FMG为等边三角形;
(3)如图3,连接BM、DM,
∵点B是线段AC的中点,点D是CE的中点,点M为AE的中点,
∴BM∥CE,BM=CE=CD,DM∥AC,DM=AC=BC.
∵△BCF和△CDG都是等边三角形,
∴BF=BC,CD=GD,∠FBC=60°,∠GDC=60°,
∴BF=BC=DM,BM=CD=GD,∠FBC=∠GDC.
∵BM∥CE,DM∥AC,
∴四边形BCDM是平行四边形,
∴∠BMD=∠DCB=120°,∠CDM=∠MBC=60°,
∴∠FBM=∠GDM=120°.
在△FBM和△MDG中,
,
∴△FBM≌△MDG,
∴MF=GM,∠FMB=∠MGD,
∴∠FMG=∠BMD﹣∠FMB﹣∠GMD=∠BMD﹣∠MGD﹣∠GMD
=120°﹣(180°﹣120°)=60°,
∴△FMG为等边三角形.
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【题目】学校让综合实践活动课外学习小组参与学校校办工厂的足球生产活动,在工人师傅的指导和帮助下,综合实践活动课外学习小组一周计划生产700个足球,平均每天生产100个,由于各种原因实际每天生产产量与计划量相比有出入,下表是某周的生产情况(超产为正、减产为负):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增减 |
(1)根据记录可知前四天共生产 个;
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 个;
(3)该校办工厂实行每周计件奖励制,生产一个足球奖励给综合实践活动课外学习小组元.超额完成任务超额部分每个再奖元,那么该校的综合实践活动课外学习小组这一周得到的奖励总额是多少元?
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【题目】如图,三角形纸牌中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED周长为____.
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【题目】在平面直角坐标系中,C点在y轴上,B点在x轴上,A点从C点出发沿正西运动,B点在x轴上运动.
(1)如图1当∠ABC=∠ABD,作∠CBO的平分线交AC的延长线于E,作CF⊥EB于F.求证:∠ABD=∠ECF;
(2)如图2,在(1)的条件下,延长AB与∠BCO的平分线交于M点,下列结论:
①∠M的度数不变;
②∠ABC﹣∠M的值不变,可以证明只有一个结论正确,请你作出正确的选择并求值.
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【题目】如图,点B、C、D、E在同一条直线上,已知AB = FC,AD = FE, BC=DE.
(1)求证:△ABD≌△FCE.
(2)AB与FC的位置关系是_________(请直接写出结论)
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【题目】小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】如图,是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像,由图像解答下列问题:
(1)此蜡烛燃烧1小时后,高度为 cm;经过 小时燃烧完毕;
(2)求这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的解析式.
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【题目】如图,等腰中,,点A、B分别在坐标轴上.
(1)如图1,若,,求C点的坐标;
(2)如图2,CD垂直x轴于D点,判断CD、OA、OD的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,若点A的坐标为,点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB,AB为边在第一,第二象限作等腰,等腰,连接EF交y轴于P点,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否变化?如果不变求出PB值,如果变化求PB的取值范围.
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