Question

7．设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值是$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 当k=1时，直线解析式为y=x和y=2x+1，利用两直线相交的问题求出它们的交点坐标为（-1，-1），再分别求出它们与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算出S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$，利用同样方法可得到S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$，S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$，利用这三个数的规律可得到S_k=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{k（k+1）}$，则S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$，然后利用$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$计算S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．

解答 解：当k=1时，直线y=x与直线y=2x+1的交点坐标为（-1，-1），直线y=x与x轴的交点坐标为（0，0），直线y=2x+1与x轴的交点为（-$\frac{1}{2}$，0），所以S₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$；
当k=2时，直线y=2x+1与直线y=3x+2的交点坐标为（-1，-1），直线y=2x+1与x轴的交点为（-$\frac{1}{2}$，0），直线y=3x+2与x轴的交点为（-$\frac{2}{3}$，0），所以S₂=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$）•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$；
当k=3时，直线y=3x+2与直线y=4x+3的交点坐标为（-1，-1），直线y=3x+2与x轴的交点为（-$\frac{2}{3}$，0），直线y=4x+3与x轴的交点为（-$\frac{3}{4}$，0），所以S₃=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$）•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$；
所以S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{5}{11}$．
故答案为$\frac{5}{11}$．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．计算S₁、S₂、S₃的值，从中找到Sk的规律是解决本题的关键．