Question

2．如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=$\sqrt{3}$，PB=5，PC=2，则△ABC的面积为（　　）

• A． 3+$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$
• B． 3+$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{3}$
• D． 3+$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积．

解答 解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
则△ABQ∽△ACP，
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2$\sqrt{3}$，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{P}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，
∴∠BQP=90°，
∴∠APC=∠AQB=90°+30°=120°；
作AM⊥BQ于M，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM=$\sqrt{3}$，AM=3，
∴AB²=BM²+AM²=（4+$\sqrt{3}$）²+3²=28+8$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{8}$AB²=$\frac{6+7\sqrt{3}}{2}$，
故选A

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用．