Question

已知二次函数的图象在x轴上截得的线段AB长为4，函数图象的顶点坐标为P（3，-2）．
 （1）求这个二次函数的表达式；
 （2）一个新的二次函数的图象与（1）中抛物线关于y轴对称，求新的二次函数表达式；
 （3）二次函数y=ax²+bx+c的图象与（1）中抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数解析式

专题：几何变换

分析：（1）由抛物线的顶点坐标可得抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性可得A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把P点坐标代入求出a=

1

2

，从而得到抛物线解析式；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征，求出点P（3，-2）关于y轴对称的点的坐标，利用顶点式确定新的二次函数表达式；
（3）利用关于原点对称的坐标特征，求出点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式，再化为一般式，则可得到a、b、c的值．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为P（3，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∵二次函数的图象在x轴上截得的线段AB长为4，
∴A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
把P（3，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

（x-1）（x-5）=

1

2

x²-3x+

5

2

；
（2）∵点P（3，-2）关于y轴对称的点的坐标为（-3，-2），
∴抛物线解析式y=

1

2

x²-3x+

5

2

关于y轴对称的抛物线解析式为y=

1

2

（x+3）²-2=

1

2

x²+3x+

5

2

；
（3）∵点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标为（-3，2），
∴抛物线解析式y=

1

2

x²-3x+

5

2

关于原点对称的抛物线解析式为y=-

1

2

（x+3）²+2=-

1

2

x²-3x-

5

2

，
∴a=-

1

2

，b=-3，c=-

5

2

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了待定系数求抛物线解析式．