Question

如图，等边△ABC，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别联结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）说明△ABP≌△ACQ；
（2）联结PQ，说明△APQ是等边三角形；
（3）联结PC，设△CPQ是以∠PQC为顶角的等腰三角形，且∠BPC=100°，求∠APB的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由△ABC是等边三角形，可得AB=AC，∠BAC=60°，利用SAS，即可得出△ABP≌△ACQ．
（2）由△ABP≌△ACQ，可昨AP=AQ，∠1=∠2∵∠1+∠3=60°，由∠2+∠3=60°．可得∠PAQ=60°，即可得出△APQ是等边三角形．
（3）由△ABP≌△ACQ，可得∠APB=∠AQC，设∠APB=x°，那么∠AQC=x°． 由△APQ是等边三角形，可得∠APQ=∠AQP=60°，从而得出∠PQC=（x-60）°由QP=QC，可得∠QPC=∠QCP．由三角形的内角和定理得∠QPC+∠QCP+∠PQC=180°，得出∠QPC的值．由∠APB+∠BPC+∠CPQ+∠APQ=360°，∠BPC=100°，可得x的值．即可求出∠APB的值．

解答：解：（1）如图，

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴AB=AC，∠BAC=60°（等边三角形的性质）．
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC(已求) ∠ABP=∠ACQ(已知) BP=CQ(已知)

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ，∠1=∠2（全等三角形的对应边、对应角相等）．
∵∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=60°．
即∠PAQ=60°．
∴△APQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
（3）如图，

∵△ABP≌△ACQ，
∴∠APB=∠AQC（全等三角形的对应角相等）．
设∠APB=x°，那么∠AQC=x°． 
∵△APQ是等边三角形，
∴∠APQ=∠AQP=60°．
得∠PQC=（x-60）°．
∵QP=QC，
∴∠QPC=∠QCP（等边对等角）．
∵∠QPC+∠QCP+∠PQC=180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠QPC=（120-

x

2

）°．
∵∠APB+∠BPC+∠CPQ+∠APQ=360°，
又∵∠BPC=100°，
∴x+100+120-

x

2

+60=360，
解得x=160．
∴∠APB=160°．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质，解题的关键是得出△ABP≌△ACQ．