Question

已知，在直角坐标平面内有点A（3，0）、B（0，6），求：一个正比例函数的解析式，使它的图象将△AOB的面积分成1：2两个部分．

Answer 1

考点：一次函数的性质

专题：

分析：设所求直线y=kx与AB交于点C，当直线OC将△AOB的面积分成1：2两个部分时，分两种情况进行讨论：①S_△AOC=

1

3

S_△AOB；②S_△BOC=

1

3

S_△AOB；利用面积之间的关系分别求出C点坐标，进而求出直线OC的解析式．

解答：解：∵A（3，0）、B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=-2x+6．
设所求直线y=kx与AB交于点C（x，y），当直线OC将△AOB的面积分成1：2两个部分时，分两种情况进行讨论：
①如果S_△AOC=

1

3

S_△AOB，那么

1

2

×3y=

1

3

×

1

2

×3×6，
解得y=2，
将y=2代入y=-2x+6，得2=-2x+6，
解得x=2，
所以C（2，2），
此时所求直线的解析式为y=x；
②如果S_△BOC=

1

3

S_△AOB，那么

1

2

×6x=

1

3

×

1

2

×3×6，
解得x=1，
将x=1代入y=-2x+6，得y=-2×1+6=4，
所以C（1，4），
此时所求直线的解析式为y=4x；
综上所述，所求正比例函数的解析式为y=x或y=4x．

点评：本题考查了一次函数的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．