Question

如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，AB=4，求平行四边形OABC的面积．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出CD，根据三角形的面积公式求出DF，根据平行四边形的面积公式求出即可．

解答：（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
如图1，连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，

OE=OD ∠EOC=∠DOC OC=OC

，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，
在Rt△CDO中，OC=4，OD=OA=3，由勾股定理得：CD=

42-32

=

7

，
由三角形的面积公式得：

1

2

×CD×OD=

1

2

×OC×DF，
∴DF=

CD×OD

OC

=

7 ×3

4

=

3 7

4

，
∴平行四边形OABC的面积是OC×DF=4×

3 7

4

=3

7

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．