Question

如图，在△ABC中，BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，P为BC上一点，过点P作PD∥AB，交AC于D，连接AP．问点P在BC上何处时，△APD的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：勾股定理,二次函数的最值

专题：

分析：首先根据在△ABC中，已知BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，设AD=x，列出△APD的面积关于x的二次函数，利用配方法求得最大值，即为所求△APD的面积最大值．

解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
∵在△ABC中，BC=4，AC=2

3

，∠ABC=60°，
∴△ABC为Rt△，∠C=30°，
设AD=x，
∵BC=4，∠C=30°，
∴CE=AC•sin∠C=2

3

×

3

2

=3，
∴CD=2

3

-x，
∴AE=AC•sin30°=

3

，DF=CD•sin30°=

1

2

（2

3

-x），
∵AB∥PD，
∴PC：BC=CD：AC，
∴PC=3-

3

2

x，
∴S_△PAD=S_△PAC-S_△PCD=

1

2

×（3-

3

2

x）×

3

-

1

2

×（3-

3

2

x）×

1

2

（2

3

-x）=-

3

8

（x-

3

2

）²+

3 3

32

．
∴当PC=3-

3

2

x=

9

4

时，最大值为

3 3

32

．

点评：本题考查三角形面积的计算、三角函数、直角三角形的性质．解决本题的关键点是证得△ABC为Rt△，从而利用三角函数建立起边间的关系；并在解题过程中转化成求二次函数的最值问题．