【题目】如图1,在矩形ABCD中,AD=4,AB=2,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)得到矩形AEFG.延长CB与EF交于点H.
(1)求证:BH=EH;
(2)如图2,当点G落在线段BC上时,求点B经过的路径长.
【答案】(1)见解析;(2)B点经过的路径长为.
【解析】分析:(1)、连接AH,根据旋转图形的性质得出AB=AE,∠ABH=∠AEH=90°,根据AH为公共边得出Rt△ABH和Rt△AEH全等,从而得出答案;(2)、根据题意得出∠EAB的度数,然后根据弧长的计算公式得出答案.
详解:(1)、证明:如图1中,连接AH,
由旋转可得AB=AE,∠ABH=∠AEH=90°,又∵AH=AH,∴Rt△ABH≌Rt△AEH,∴BH=EH.
(2)、解:由旋转可得AG=AD=4,AE=AB,∠EAG=∠BAC=90°,在Rt△ABG中,AG=4,AB=2,
∴cos∠BAG=,∴∠BAG=30°,∴∠EAB=60° ,∴弧BE的长为=π,
即B点经过的路径长为.
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【题目】阅读理解:
我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形,如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形,设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把的值叫做这个平行四边形的变形度.
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度,则这个平行四边形的变形是 .
猜想证明:
(2)设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1,S2, 之间的数量关系,并说明理由;
拓展探究:
(3)如图2,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,且AB2=AEAD,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1,E1为E的对应点,连接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面积为4 (m>0),平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m>0),试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是BC边上的高线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M 两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F ,FB为⊙O的直径.
(1)求证:AM是⊙O的切线
(2)当BE=3,cosC=时,求⊙O的半径.
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【题目】为响应香洲区全面推进书香校园建设的号召,班长小青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间t(单位:小时),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图(A:0<t≤7,B:7<t≤14,C:14<t≤21,D:t>21),根据图中信息,解答下列问题:
(1)这项工作中被调查的总人数是多少?
(2)补全条形统计图,并求出表示A组的扇形统计图的圆心角的度数;
(3)如果小青想从D组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表,请用列表或树状图的方法求出恰好选中甲的概率.
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【题目】为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少于小时,小明为了解本班学生参加户外活动的情况,特进行了问卷调查.
(1)在进行问卷调查时有如下步骤,按顺序排列为________(填序号).
①发问卷,让被调查人填写;②设计问卷;③对问卷的数据进行收集与整理;
④收回问卷;⑤得出结论.
(2)小明根据调查结果,就本班学生每天参加户外活动的平均时间绘制了以下两幅不完整的统计图(图中表示大于等于同时小于,图中类似的记号均表示这一含义),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
①在这次调查中共调查了多少名学生?
②通过计算补全频数分布直方图;
③请你根据以上统计结果,就学生参加户外活动情况提出建议.
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【题目】如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA 交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求证:AH是⊙O的切线;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求证:CD=DH.
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【题目】已知:如图①,长方形ABCD中,E是边AD上一点,且AE=6cm,点P从B出发,沿折线BE-ED-DC匀速运动,运动到点C停止.P的运动速度为2cm/s,运动时间为t(s),△BPC的面积为y(cm2),y与t的函数关系图象如图②,则下列结论正确的有( )
①a=7 ②AB=8cm ③b=10 ④当t=10s时,y=12cm2
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地,已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)
(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.73)
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【题目】阅读下面材料:
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题:
如果一个不等式(含有不等号的式子)中含有绝对值,并且绝对值符号中含有未知数,我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集(满足不等式的所有解).
小明同学的思路如下:
先根据绝对值的定义,求出恰好是3时的值,并在数轴上表示为点,,如图所示.观察数轴发现,
以点,为分界点把数轴分为三部分:
点左边的点表示的数的绝对值大于3;
点,之间的点表示的数的绝对值小于3;
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此,小明得出结论,绝对值不等式的解集为:或.
参照小明的思路,解决下列问题:
(1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是 ;
②的解集是 .
(2)求绝对值不等式的解集.
(3)直接写出不等式的解集是 .
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