Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．

（1）求证：；

（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）半径为；（3）PQ=

【解析】

（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠OBC=∠CBD，即可证；

（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，可得AC=2，由勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径；

（3）过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，通过证明△APC∽△CPB，可得，可求PA=，即可求PO的长，通过证明△PHO∽△BCA，
可求PH，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求PQ的长．

解：（1）∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∵OC∥BD

∴∠OCB＝∠CBD

∴∠OBC＝∠CBD

∴

（2）连接AC，

∵CE＝1，EB＝3，

∴BC＝4

∵

∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB

∴△ACE∽△BCA

∴

∴AC2＝CBCE＝4×1

∴AC＝2，

∵AB是直径

∴∠ACB＝90°

∴AB＝，

∴⊙O的半径为.

（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，

∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°

∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA

∴△APC∽△CPB

∴，

∴PC＝2PA，PC2＝PAPB

∴4PA2＝PA×（PA+2）

∴PA＝，

∴PO＝，

∵PQ∥BC

∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°

∴△PHO∽△BCA

∴，

即，

∴PH＝，OH＝，

∴HQ＝，

∴PQ＝PH+HQ＝.