【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,CF∥AB交AD延长线于点F,连接BF交⊙O于点G,连接DG.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)求证:四边形ABFC为菱形;
(3)若OA=5,DG=2,求线段GF的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)4.
【解析】
(1)如图,连接OD,由等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB,∠ABC=∠ACB,可证明∠ODB=∠ACB,可得OD//AC,根据DE⊥AC可得DE⊥AC,即可证明DE为⊙O的切线;
(2)由OD//AC,OA=OB可得BD=CD,根据平行线的性质可得∠BAD=∠CFD,∠ABD=∠FCD,利用AAS可证明△ABD≌△FCD,可得AB=CF,可证明四边形ABFC是平行四边形,由AB=AC即可证明四边形ABCF是菱形;
(3)根据圆内接四边形的性质及平角的定义可得∠GDF=∠ABG,∠DGF=∠BAD,可证明△FGD∽△FAB,根据菱形的性质可得∠BAD=∠BFD,即可证明∠DGF=∠BFD,可得DG=DF,利用相似三角形的性质即可求出GF的长.
(1)连接OD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE为⊙O的切线.
(2)由(1)得,OD∥AC,
又∵OA=OB,
∴DB=DC,
∵CF∥AB,
∴∠BAD=∠CFD,∠ABD=∠FCD,
在△ABD和△ECD中,,
∴△ABD≌△FCD,
∴AB=CF,
∴四边形ABFC为平行四边形,
∵AB=AC,
∴平行四边形ABFC为菱形.
(3)∵四边形ABGD内接于⊙O,
∴∠ABG+∠ADG=180°,∠BAD+∠BGD=180°,
∵∠GDF+∠ADG=180°,∠DGF+∠BGD=180°,
∴∠GDF=∠ABG,∠DGF=∠BAD,
∴△FGD∽△FAB,
∴,
∵AB为⊙O的直径,OA=5,
∴AB=10,
∵四边形ABFC为菱形,
∴∠BAD=∠BFD,AF=2DF,
∴∠DGF=∠BFD,
∴DF=DG=2,
∴AF=2DF,
∴.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C,则下列四个结论:①ac<0;②2a+b=0;③﹣1<x<3时,y<0;④4a+c<0.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于的二次函数的图象开口向下,与的部分对应值如下表所示:
下列判断,①;②;③方程有两个不相等的实数根;
④若,则,正确的是________________(填写正确答案的序号) .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C,求面积的最大值;
(3)在(2)中面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字-2,0,1,2,连续抛掷两次,朝下一面的数字分别是a,b,将其作为M点的横、纵坐标,则点M(a,b)落在以A(6,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.
(1)求证:;
(2)若CE=1,EB=3,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交⊙O于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】今年是我国建国70周年,回顾过去展望未来,创新是引领发展的第一动力,北京科技创新能力不断增强,下面的统计图反映了2010﹣2018年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况.
根据统计图提供的信息,下列推断合理的是( )
A. 2010﹣2018年,北京市毎万人发明专利授权数逐年增长
B. 2010﹣2018年,北京市毎万人发明专利授权数的平均数超过10件
C. 2010年申请后得到授权的比例最低
D. 2018年申请后得到授权的比例最高
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一辆汽车油箱中有汽油.如果不再加油,那么油箱中的油量(单位:)随行驶路程(单位:)的增加而减少.已知该汽车平均耗油量为.
(Ⅰ)计算并填写下表:
(单位:) | 10 | 100 | 300 | … |
(单位:) | … |
(Ⅱ)写出表示与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
(Ⅲ)若,两地的路程约有,当油箱中油量少于时,汽车会自动报警,则这辆汽车在由地到地,再由地返回地的往返途中,汽车是否会报警?请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com