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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙OBC于点DDEAC,垂足为ECFABAD延长线于点F,连接BF交⊙O于点G,连接DG

1)求证:DE为⊙O的切线;

2)求证:四边形ABFC为菱形;

3)若OA=5DG=2,求线段GF的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(34

【解析】

1)如图,连接OD,由等腰三角形的性质可得∠OBD=ODB,∠ABC=ACB,可证明∠ODB=ACB,可得OD//AC,根据DEAC可得DEAC,即可证明DE为⊙O的切线;

2)由OD//ACOA=OB可得BD=CD,根据平行线的性质可得∠BAD=CFD,∠ABD=FCD,利用AAS可证明△ABD≌△FCD,可得AB=CF,可证明四边形ABFC是平行四边形,由AB=AC即可证明四边形ABCF是菱形;

3)根据圆内接四边形的性质及平角的定义可得∠GDF=ABG,∠DGF=BAD,可证明△FGD∽△FAB,根据菱形的性质可得∠BAD=BFD,即可证明∠DGF=BFD,可得DG=DF,利用相似三角形的性质即可求出GF的长.

1)连接OD

OB=OD

∴∠OBD=ODB

AB=AC

∴∠ABC=ACB

∴∠ODB=ACB

ODAC

DEAC

DEOD

DE为⊙O的切线.

2)由(1)得,ODAC

又∵OA=OB

DB=DC

CFAB

∴∠BAD=CFD,∠ABD=FCD

在△ABD和△ECD中,

∴△ABD≌△FCD

AB=CF

∴四边形ABFC为平行四边形,

AB=AC

∴平行四边形ABFC为菱形.

3)∵四边形ABGD内接于⊙O

∴∠ABG+ADG=180°,∠BAD+BGD=180°

∵∠GDF+ADG=180°,∠DGF+BGD=180°

∴∠GDF=ABG,∠DGF=BAD

∴△FGD∽△FAB

AB为⊙O的直径,OA=5

AB=10

∵四边形ABFC为菱形,

∴∠BAD=BFDAF=2DF

∴∠DGF=BFD

DF=DG=2

AF=2DF

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