Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE交与点G．则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BG；③GE+GF＝GC；④S△AGB＝2S四边形ECFG．其中正确的是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）证△ADF≌△DCE（SAS），∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，AF⊥DE，故①正确；（2）过点B作BH∥DE交AD于H，交AF于K，BH是AG的垂直平分线，BG＝AB＝AD，故②正确；（3）延长DE至M，使得EM＝GF，连接CM，△CEM≌△CFG（SAS），△MCG为等腰直角三角形，故③正确；（4）过G点作TL∥AD，交AB于T，交DC于L，则GL⊥AB，GL⊥DC，证得△DGF∽△DCE，根据相似三角形性质可以求出相应面积关系..

解：

∵正方形ABCD，E，F均为中点

∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝$\frac{1}{2}$BC

∵在△ADF和△DCE中，

∴△ADF≌△DCE（SAS）

∴∠AFD＝∠DEC

∵∠DEC+∠CDE＝90°

∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF

∴AF⊥DE，故①正确

如图1，过点B作BH∥DE交AD于H，交AF于K

∵AF⊥DE，BH∥DE，E是BC的中点

∴BH⊥AG，H为AD的中点

∴BH是AG的垂直平分线

∴BG＝AB＝AD，故②正确

如图2

延长DE至M，使得EM＝GF，连接CM

∵∠AFD＝∠DEC

∴∠CEM＝∠CFG

又∵E，F分别为BC，DC的中点

∴CF＝CE

∵在△CEM和△CFG中，

∴△CEM≌△CFG（SAS）

∴CM＝CG，∠ECM＝∠GCF

∵∠GCF+∠BCG＝90°

∴∠ECM+∠BCG＝∠MCG＝90°

∴△MCG为等腰直角三角形

∴GM＝GE+EM＝GE+GF＝

故③正确

如图3，过G点作TL∥AD，交AB于T，交DC于L，则GL⊥AB，GL⊥DC

设EC＝x，则DC＝2x，DF＝x，由勾股定理得DE

由DE⊥GF，易证得△DGF∽△DCE

∴

∴

∴S四边形ECFG＝S△DEC﹣

∴S四边形ECFG＝x2，S△DGF＝x2

∵DF＝x

∴GL＝

∴TG＝

∴S△AGB＝

∴S△AGB＝2S四边形ECFG

故④正确，

故选D．