Question

小明同学将直角三角形直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=-

1

2

x²分别相交于A、B两点，小明发现交点A、B两点的连线总经过一个固定的点，则该点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：设A（-m，-

1

2

m²）（m＞0），B（n，-

1

2

n²）（n＞0），过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．

解答：解：设A（-m，-

1

2

m²）（m＞0），B（n，-

1

2

n²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
则

-mk+b=- 1 2 m2① nk+b=- 1 2 n2②

，
①×n+②×m得，（m+n）b=-

1

2

（m²n+mn²）=-

1

2

mn（m+n），
∴b=-

1

2

mn．
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∠AEO=∠OFB=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠OBF+∠BOF=90°，
∴∠AOE=∠OBF．
在△AEO与△OFB中，

∠AEO=∠OFB ∠AOE=∠OBF

，
∴△AEO∽△OFB，
∴

AE

OF

=

OE

BF

，
∴

1 2 m2

n

=

m

1 2 n2

，
∵mn≠0，
∴mn=4，
∴b=-

1

2

×4=-2，
∴A、B两点的连线总经过一个固定的点（0，-2）．
故答案为（0，-2）．

点评：本题着重考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．