Question

11．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c的顶点为D，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，6），连接BC、CD、BD．
（1）求c的值；
（2）求证：∠CBD=90°；
（3）P为y轴右侧的抛物线上一动点，连接PC，问：是否存在点P使得PC与y轴所夹的锐角等于∠BCD？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将C（0，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c，得出c的值即可；
（2）将y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6化为顶点式得出点D的坐标，令y=0，求得点A，B坐标，根据勾股定理得BD，BC，CD，由勾股定理的逆定理得出∠CBD=90°；
（3）先假设存在点P，过点P作PQ⊥y轴于Q，则tan∠PCQ=$\frac{PQ}{CQ}$，根据∠PCQ=∠BCD，得出$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，设PQ=x，则CQ=3x，分两种情况讨论：①当P在直线y=6的下方时，则P（x，6-3x），由点P在抛物线上，解得x的值，得出点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c与y轴交于点C（0，6），
∴将C（0，6）代入y=$\frac{1}{2}$x²-4x+c，
得c=6，
∴c的值为6；
（2）y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6=$\frac{1}{2}$（x-4）²-2，
∴D（4，-2），
令y=0，得$\frac{1}{2}$（x-4）²-2=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0）B（6，0）；
由勾股定理，得BD=2$\sqrt{2}$，BC=6$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴BD²+BC²=（2$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$）²=80=CD²，
∴∠CBD=90°；
（3）假设存在点P，过点P作PQ⊥y轴于Q，则tan∠PCQ=$\frac{PQ}{CQ}$，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，∠PCQ=∠BCD，
∴tan∠PCQ=tan∠BCD=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，
设PQ=x，则CQ=3x，分两种情况讨论：
①当P在直线y=6的下方时，P（x，6-3x）．
∵点P在抛物线上，
∴$\frac{1}{2}$x²-4x+6=6-3x，
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
∴P（2，0）；
②当P在直线y=6的上方时，P（x，6+3x）．
∵点P在抛物线上，
∴$\frac{1}{2}$x²-4x+6=6+3x，
解得x₁=0（舍去），x₂=14，
∴P（14，48），
综上所述：存在点P的坐标为（2，0）或（14，48），使得PC与y轴所夹的锐角等于∠BCD．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，主要考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、三角函数的定义等知识点，培养学生数形结合的数学思想方法．