Question

如图，两同心圆的圆心为O，半径分别为6，3，大圆的弦AB切小圆于P，则图中阴影部分的周长是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,垂径定理,弧长的计算

专题：计算题

分析：连结OP，如图，根据切线的性质得OP⊥AB，接着根据垂径定理得到AP=BP，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，AP=

3

OPO=3

3

，所以AB=2AP=6

3

，再计算出∠AOB=120°，
则利用弧长公式计算出弧CD的长为π，然后计算图中阴影部分的周长．

解答：解：连结OP，如图，
∵大圆的弦AB切小圆于P，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，∵OP=3，OA=6，
∴∠A=30°，
∴AP=

3

OPO=3

3

，
∴AB=2AP=6

3

，
而OA=OB，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴弧CD的长=

60•π•3

180

=π，
∵AC=BD=6-3=3，
∴图中阴影部分的周长=3+6

3

+3+π=6+6

3

+π．
故答案为6+6

3

+π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和弧长的计算．