Question

【题目】(1)如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 。

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点M、N分别在BD、BC上。求CM+MN的最小值．

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E是AB边上的一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点。把△BEF沿EF翻折，点B对应点G,连接AG、CG.四边形AGCD的面积的最小值是 。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；

（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；

（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论．

（1）如图①，

过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得，AB=5，

∵AC×BC=AB×CD，

∴CD==，

故答案为：；

2）如图②，

作出点C关于BD的对称点E，

过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=EN最小；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，CD=AB=3，根据勾股定理得，BD=5，

∵CE⊥BC，

∴BD×CF=BC×CD，

∴CF==，

由对称得，CE=2CF=，

在Rt△BCF中，cos∠BCF==，

∴sin∠BCN=，

在Rt△CEN中，EN=CEsin∠BCE==；

即：CM+MN的最小值为；

（3）如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根据勾股定理得，AC=5，

∵AB=3，AE=2，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=×4×3+×5×h=h+6，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，

由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=，

∴EH=，AE=，

∴h=EH-EG=-1=，

∴S四边形AGCD最小=h+6=×+6=．