Question

【题目】如图，已知与相交于，平分，若，，连接，且.

（1）求证：；

（2）连接，判断的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△NBD是等边三角形，理由见解析．

【解析】

（1）过N作NE⊥AB于E，NF⊥CD于F.根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到NE=NF，根据"HL"证明Rt△AEN≌Rt△CFN，根据全等三角形对应角相等即可得出结论.

（2）设CD、NB相交于点P.证明△ANB≌△CND，根据全等三角形对应角相等、对应边相等得到∠NBA=∠NDC，NB=ND.根据对顶角相等得到∠AOC=60°.在△OPB和△NPD中，利用三角形内角和为180°，可得到∠PND=60°.根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论.

（1）过N作NE⊥AB于E，NF⊥CD于F.

∵ON平分∠AOD，NE⊥AB，NF⊥CD，

∴NE=NF，∠AEN=∠CFN=90°.

在Rt△AEN和Rt△CFN中，

∵AN=CN，NE=NF，

∴Rt△AEN≌Rt△CFN(HL)，

∴∠A=∠C.

（2）△NBD是等边三角形.理由如下：

设CD、NB相交于点P.

在△ANB和△CND中，∵AN=CN，∠A=∠C，AB=CD，

∴△ANB≌△CND(SAS)，

∴∠NBA=∠NDC，NB=ND.

∵∠AOC=60°，

∴∠POB=∠AOC=60°.

在△OPB和△NPD中，

∵∠OPB=∠NPD，∠NBA=∠NDC，

∴∠POB=∠PND=60°.

∵NB=ND，∠BND=60°，

∴△NBD是等边三角形.