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【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).

(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;

(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;

(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=-x2+x+4,x=3;(2)△AOC∽△COB.(3)4;(4)点Q的坐标为(3,4+)或(3,4-)或(3,0)时,△ACQ为等腰三角形时.

【解析】

试题分析:(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值,即可得到抛物线解析式,再根据对称轴方程列式计算即可得解;

(2)令y=0,解方程求出点A的坐标,令x=0求出y的值得到点C的坐标,再求出OA、OB、OC,然后根据对应边成比例,夹角相等的两个三角形相似证明;

(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出解析式,再表示出MN,然后根据二次函数的最值问题解答;

(4)利用勾股定理列式求出AC,过点C作CD⊥对称轴于D,然后分①AC=CQ时,利用勾股定理列式求出DQ,分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离,再写出点的坐标即可;②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=CQ,再写出点Q的坐标即可.

试题解析:(1)∵点B(8,0)在抛物线y=-x2+bx+4上,

∴-×64+8b+4=0,

解得b=

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4,

对称轴为直线x=-=3;

(2)△AOC∽△COB.

理由如下:令y=0,则-x2+x+4=0,

即x2-6x-16=0,

解得x1=-2,x2=8,

∴点A的坐标为(-2,0),

令x=0,则y=4,

∴点C的坐标为(0,4),

∴OA=2,OB=8,OC=4,

=2,∠AOC=∠COB=90°,

∴△AOC∽△COB;

(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,

解得

∴直线BC的解析式为y=-x+4,

∵MN∥y轴,

∴MN=-x2+x+4-(-x+4),

=-x2+x+4+x-4,

=-x2+2x,

=-(x-4)2+4,

∴当x=4时,MN的值最大,最大值为4;

(4)由勾股定理得,AC=

过点C作CD⊥对称轴于D,则CD=3,

①AC=CQ时,DQ==

点Q在点D的上方时,点Q到x轴的距离为4+

此时点Q1(3,4+),

点Q在点D的下方时,点Q到x轴的距离为4-

此时点Q2(3,4-),

②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=5,

CQ==5,

∴AQ=CQ,

此时,点Q3(3,0),

③当AC=AQ时,∵AC=,点A到对称轴的距离为5,<5,∴这种情形不存在.

综上所述,点Q的坐标为(3,4+)或(3,4-)或(3,0)时,△ACQ为等腰三角形时.

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