【题目】如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形,如图2.
①在旋转过程中,当∠是直角时,求的度数;(注明:当直角边为斜边一半时,这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求长的最大值和此时的度数,直接写出结果不必说明理由.
图1 图2
【答案】(1)证明见解析;(2)①(1)30°或150°②AF′长的最大值是,此时α=315°.
【解析】(1)如图1,延长ED交AG于点H.
∵O为正方形ABCD对角线的交点.∴OA=OD,OA⊥OD.
∵OG=OE,∴Rt△AOG≌Rt△DOE,∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°,∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中,∠成为直角有以下两种情况:
(i)α由0°增大到90°过程中,当∠为直角时,
∵,∴在Rt△中, ,
∴∠∵OA⊥OD,∴∠DOG′=90°-∠=30°,即α=30°.
(ii)α由90°增大到180°过程中,当∠为直角时,
同理可求的∠AOG′=30°,所以α=90°+∠=150°.
综上,当∠为直角时,α=30°或150°.
②AF′长的最大值是,此时α=315°.理由:当AF′长的最大时,点F′在直线AC上,如图所示:
∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.
∴OE′=E′F′=2OD=.∴OF′=.∴AF′=AO+OF′=.
∵∠E′OF=45°∴旋转角α=360°-45°=315°.
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【题目】如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ;
求证:四边形ABCD是平行四边形.
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【题目】“五一”期间,某商铺经营某种旅游纪念品.该商铺第一次批发购进该纪念品共花费3 000元,很快全部售完.接着,该商铺第二次批发购进该纪念品共花费9000元.已知第二次所购进该纪念品的数量是第一次的2倍还多300个,第二次的进价比第一次的进价提高了20%.
(1)求第一次购进该纪念品的进价是多少元?
(2)若该纪念品的两次售价均为9元/个,两次所购纪念品全部售完后,求该商铺两次共盈利多少元?
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【题目】企业举行“爱心一日捐”活动,捐款金额分为五个档次,分别是50元,100元,150元,200元,300元.宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额,绘制成两个不完整的统计图,请结合图表中的信息解答下列问题:
(1)宣传小组抽取的捐款人数为_____人,请补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,求100元所对应扇形的圆心角的度数;
(3)已知该企业共有500人参与本次捐款,请你估计捐款总额大约为多少元?
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【题目】如图,直线y=﹣ x+m(m>0)与x轴交于点C,与y轴交于点D,以CD为边作矩形ANCD,点A在x轴上.双曲线y= 经过点B,与直线CD交于点E,则点E的坐标为( )
A.( ,﹣ )
B.(4,﹣ )
C.( ,﹣ )
D.(6,﹣1)
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【题目】网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,绘制出以下两幅统计图.
请根据图中的信息,回答下列问题:
(1)这次抽样调查中共调查了人;
(2)请补全条形统计图;
(3)扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是;
(4)据报道,目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万,请估计其中12﹣23岁的人数.
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【题目】如图,把矩形纸片ABCD沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )
A. △EBD是等腰三角形,EB=ED B. 折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形 D. △EBA和△EDC′一定是全等三角形
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=12.
(1)用尺规作图的方法作AB的垂直平分线MN,分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)求第(1)题中的CM的长.
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【题目】一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量出了这个零件各边尺寸,那么这个零件符合要求吗?求出四边形ABCD的面积.
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