Question

如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长BA到F，使BF=BC，连接EF，FD，证△FBD≌△CBD，推出∠BDF=∠BDC=120°=∠ADE，求出∠EDF=60°=∠ADF，证△ADF≌△EDF，推出AF=EF，证△FAE≌△CBE，推出EF=CE，即可得出答案．

解答：证明：
延长BA到F，使BF=BC，连接EF，FD，
∵在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=40°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=20°，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD=100°+20°=120°，
∴∠ADE=∠BDC=120°，
在△FBD和△CBD中，

BF=BC ∠FBD=∠CBD BD=BD

，
∴△FBD≌△CBD（SAS），
∴∠BDF=∠BDC=120°=∠ADE，
∵在△ABD中，∠BAD=120°，∠ABD=20°，
∴∠ADB=180°-100°-20°=60°，
∴∠ADF=∠BDF-∠ADB=120°-60°=60°，
∴∠EDF=120°-60°=60°=∠ADF，
在△ADF和△EDF中，

AD=DE ∠ADF=∠EDF DF=DF

，
∴△ADF≌△EDF（SAS），
∴AF=EF，
在△FAE和△CBE中，

BF=BC ∠FBE=∠CBE BE=BE

，
∴△FAE≌△CBE（SAS），
∴EF=CE，
∴CE=AF，
∴BC=BF=AB+AF=AB+CE，
即BC=AB+CE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，题目比较好，难度适中．