【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) 二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)S=﹣m2+m+(1≤m<3);(3) (, )(1+,4﹣)(2,2).
【解析】解:(1)∵OB=OC=3,
∴B(3,0),C(0,3)
∴,
解得,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,M(1, 4)
设直线MB的解析式为y=kx+n,
则有,
解得,
∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,
∵PQ⊥x轴,OQ=m,
∴点P的坐标为(m,﹣2m+6)
S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AOCO+(PQ+CO)OQ(1≤m<3)
=×1×3+(﹣2m+6+3)m=﹣m2+m+;
(3)线段BM上存在点N(, ),(2,2),(1+,4﹣)使△NMC为等腰三角形,
CM=,CN=,MN=
①当CM=NC时, ,
解得x1=,x2=1(舍去)
此时N(, ),
②当CM=MN时, ,
解得x1=1+,x2=1-舍去),
此时N(1+,4﹣).
③当CN=MN时, ,
解得x=2,此时N(2,2).
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【题目】九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | …… |
月销量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | …… |
(1)已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元;
请用含有x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是 元;
②月销售量是 件;(直接写结果)
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少元时,当月的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,过点A(2,0)的两条直线,分别交轴于B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=.
(1)求点B的坐标;
(2)若△ABC的面积为4,求的解析式.
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【题目】如图a是长方形纸带,∠DEF=24°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图 c中的∠CFE的度数是( )
A.104°B.106°C.108°D.110°
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【题目】如图所示,点ABD都在⊙O上,BC是⊙O的切线,AD∥BC,∠C=30°,AD=4.
(1)求∠A的度数;
(2)求由线段BC、CD与弧BD所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】某公司在11月11日这一天,上午卖出某品牌手机75部,下午又卖出100部,已知每部手机的售价为a元,每部手机的成本为b元.
(1)求这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额.
(2)求这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润.
(3)当a=6800,b=2700时,总销售额和利润分别是多少?
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【题目】若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是1,n是有理数且既不是正数也不是负数,求20161﹣(a+b)+m﹣(cd)2016+n(a+b+c+d)的值.
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【题目】如图所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延长线交BD于点P.
(1)把△ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是 (选填“相等”或“不相等”);简要说明理由;
(2)若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转,当∠EAC=90°时,在图2中作出旋转后的图形,PD= ,简要说明计算过程;
(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为 ,最大值为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是二元一次方程组的解(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标;
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.
①当0<t<3时,求m关于t的函数关系式;
②当m=时,求点P的横坐标t的值.
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