Question

如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O，连接OD，并且OD平分∠ADO．
（1）求证：⊙O与CD相切．
（2）若OC=12，OD=5，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）过O作OE垂直于CD，根据梯形的面积公式表示出梯形ABCD的面积，由O为AB的中点，将AB换为2OA，变形得到梯形的面积等于△OAD与△OBC的面积之和的2倍，又梯形ABCD的面积=△AOD的面积+△BOC的面积+△COD的面积，得到△COD的面积=△AOD的面积+△BOC的面积，而△AOD与△BOC都为直角三角形，△COD的面积等于CD乘以OE除以2，分别利用三角形的面积公式表示后，根据AD+BC=CD，得到OA=OE，又OA为圆O的半径，故得到CD过半径OE的端点E，且与半径OE垂直，进而确定出CD为圆O的切线；
（2）取CD的中点F，连接OF，又O为AB的中点，得到OF为梯形的中位线，利用梯形中位线定理得到OF等于上下底之和的一半，再利用AD+BC=CD变形，得到OF为CD的一半，即OF等于以CD为直径的圆F的半径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD的长即可．

解答：（1）证明：过AB的中点O作OE⊥CD于E，

∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA=2（

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB）=2（S_△OAD+S_△OBC），
且S_梯形ABCD=S_△OBC+S_△OAD+S_△OCD，
∴S_△OBC+S_△OAD=S_△OCD，且OA=OB，
∴

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OB=

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OA=

1

2

（AD+BC）•OA=

1

2

CD•OE，
又∵AD+BC=CD，
∴OA=OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，
又∵OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切；

（2）解：在CD上取中点F，连接OF，
过D作DM⊥BC于M，
则AB=DM，AD=BM，∠DMC=90°
∵OF为梯形ABCD的中位线，且AD+BC=CD，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD，
∴O点在以CD为直径的⊙F上，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，
∴根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

52+122

=13，
OF=6.5，
设⊙O半径为R，
则

1

2

AD×OA+

1

2

DO×OC+

1

2

OB×BC=

1

2

×（AD+BC）×2R
所以

1

2

R×13+

1

2

×5×12=

1

2

×13×2R，
解得：R=

60

13

，
即⊙O的半径为

60

13

．

点评：此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，梯形的中位线定理，以及梯形、三角形面积的计算，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．