Question

【题目】如图，在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点，过点 A 作AF // BC 交 BE 的延长线于 F ，连接CF .

（1）求证： AEF DEB ；

（2）若BAC 90，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的情况下，如果 AC 2 ，点 M 在 AC 线段上移动，当 MB MD 有最小值时，求 AM 的长度（提示：以 D 点为原点， AD 为 y 正半轴， DC 为 x 正轴建立平面直角坐标系）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是菱形；（3）．

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理证明△AEF≌△DEB；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=DC，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=DC，即可证明四边形ADCF是菱形；

（3）根据菱形的性质得到点D与点F关于直线AC对称，根据轴对称的性质作图即可得出点M，然后根据相似三角形的判定与性质即可得出AM与AC的关系，即可得出结论．

（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB；

（2）四边形ADCF是菱形，理由如下：

∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD．

∵BD=DC，∴AF=DC．

又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．

∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴AD=DC，∴四边形ADCF是菱形；

（3）连接BF交AC于M，则点M即为所求．

∵四边形ADCF是菱形，∴点D与点F关于直线AC对称，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．

∵AF=DC=BD，∴BC=2AF．

∵AF∥BC，∴△AMF∽△CMB，∴，∴，∴AM=AC．

∵AC=2，∴AM=．