Question

5．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线，CE⊥AE．求证：AB=DE．

Answer 1

分析 先证明AE∥BC，得出∠DAE=∠ADB=90°，再证明四边形ADCE是矩形，证出DE=AC，即可得出结论AB=DE．

解答 证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠ABC=∠ACB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE=∠FAE，
又∵∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∴∠FAE=∠ABC，
∴AE∥BC，
∴∠DAE=∠ADB=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴DE=AC，∴AB=DE．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的判定与性质；证明四边形是矩形是解决问题的关键．