Question

7．（1）操作发现：
如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系AB=AC+DC
（2）问题解决：
如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：
如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC=3，直接写出DE的长．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，然后证明△BED为等腰直角三角形，从而得到BE=ED，故此可证得AB=AC+CD；
（2）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED，由三角形外角的性质可证明∠B=∠EDB，从而得到BE=ED，于是可证明AB=AC+CD；
（3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，由特殊锐角三角函数值可知CH的长，从而得到AC的长，然后求得AD的长，最后根据AC=AD+DE求解即可．

解答 解：（1）∵∠C=2∠B=90°，
∴∠B=45°．
由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED=90°．
∵∠B=45°，∠BED=90°，
∴∠EDB=45°．
∴∠B=∠EDB=45°．
∴BE=ED．
∴BE=DC．
∴AB=AC+DC．
故答案为：AB=AC+DC．
（2）由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED．
∵∠B+∠EDB=∠AED，∠C=2∠B，
∴∠B=∠BDE．
∴BE=ED．
∴BE=DC．
∴AB=AC+DC．
（3）如图所示：过点B作BH⊥AC，垂足为H．

∵∠B=120°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=30°．
∴CH=BC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∵AB=BC，BH⊥AC，
∴CH=HA．
∴AC=3$\sqrt{3}$．
在Rt△ACD中，AD=$3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
∵AC=AD+ED，
∴ED=AC-AD=3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{6}}{2}$=$\frac{6\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、三角形外角的性质、等腰三角形三线合一的性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得BE=ED是解题的关键．