Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

（1）CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，BE的延长线交CA的延长线于M，补全图形，并探究BE和CD的数量关系，并说明理由；
（2）若BC上有一动点P，且∠BPQ= ∠ACB，BQ⊥PQ于Q，PQ交AB于F，试探究BQ和PF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，BE= CD，理由是：

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BEC=∠BAC，

∵∠EDB=∠ADC，

∴∠ABM=∠ACD，

∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，

∴△ABM≌△ACD，

∴CD=BM，

∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，

∴△MEC≌△BEC，

∴BE=EM，

∴BE= BM= CD

（2）解：如图2，BQ= PF，理由是：

作∠ACB的平分线，交BQ延长线于E，交AB于D，

由（1）得：BE= CD，

∵∠BPQ= ∠ACB，∠BCE= ∠ACB，

∴∠BPQ=∠BCE，

∴PQ∥CE，

∴ = ， ，

∴ ，

∴ ，

∴BQ= PF

【解析】（1）如图1，证明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再证明△MEC≌△BEC，得BE=EM，则BE= CD；（2）如图2，根据（1）作辅助线，证明PQ∥EC，得 ，利用（1）的结论BE= CD，得BQ= PF．
【考点精析】利用等腰直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．