Question

【题目】（1）（发现）如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．

思考发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：的值为______．

（2）（应用）如图3，在四边形中，，与不平行且，对角线，垂足为．若，，，求的长．

（3）（拓展）如图4，已知平行四边形和矩形，与交于点，，且，，判断与的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）．

【解析】

（1）由DE//BC，EF//DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，可得△BEF是直角三角形，利用勾股定理，求出BF的长即为BC+DE的值；

（2）同（1）做CE//DB，交AB延长线于点E，易证四边形DBEC是平行四边形，根据已知可证△DAB△CBA（SAS），得AC=DB，等量代换，可得AC=CE，故△ACE是等腰直角三角形，AE=8，利用勾股定理，即可求得AC；

（3）连接AE、CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等腰直角三角形，求出AC=CE，而DF=CE，即可得出答案．

解：（1）∵DE//BC，EF//DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴DE=CF，DC=EF，

∴BC+ED=BC+CF=BF，

∵DC⊥BE，DC//EF，

∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，

∵BE=5，EF=DC=3，

∴BF==．

故BC+DE=．

（2）做CE//DB，交AB延长线于点E，

由（1）同理，可证得四边形DBEC是平行四边形，BE=DC=3，

在△DAB和△CBA中 ，

∴△DAB△CBA（SAS），

∴DB=AC，

∵四边形DBEC是平行四边形，DB=CE，

∴AC=CE，

∵AC⊥DB，

∴AC⊥CE，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AE=AB+BE=AB+DC=5+3=8，

∴AC=，求得AC=．

故AC的长为．

（3）AC=DF；

证明：连接AE、CE，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB//FE，BF=AE，

∴DC//FE，

∴四边形DCEF为平行四边形，

∴CE=DF，

∵四边形ABEF是矩形，

∴BF=AE，

∵BF=DF，

∴DF=CE，

∴AF=BE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

在△FAD和△EBC中 ，

∴△FAD△EBC（SSS），

∴∠AFD=∠BEC，

∴∠FEB=∠EFA=90°，

∵∠EBF=60°，∠BFD=30°，

∴∠DFA=90°-30°-（90°-60°）=30°，

∴∠CEB=30°，

∴OE=OB，

∵∠EBF=60°，

∴∠BEA=∠EBF=60°，

∴∠AEC=60°+30°=90°，

即△AEC是等腰直角三角形，

∴AC=CE，

∵DF=CE，

∴AC=DF．

故AC与DF之间的数量关系是AC=DF．