Question

【题目】如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．

（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；

（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）点P的坐标为（﹣4，）或（，）．

【解析】

（1）由点A的坐标可得出OA的长，利用勾股定理可求出OB的长，结合点B在y轴正半轴上即可得出点B的坐标，由点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC两种情况考虑：①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8），利用相似三角形的性质可求出CP2的长，结合点C的坐标可得出关于m的方程，解之即可得出点P2的坐标．综上，此题得解．

解：（1）∵点A的坐标为（6，0），

∴OA＝6，

∴OB＝＝8．

∵点B在y轴的正半轴，

∴点B的坐标为（0，8）．

设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），

将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：，

解得：，

∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8．

（2）分两种情况考虑，如图所示．

①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，

当x＝﹣4时，y＝﹣x+8＝，

∴点P1的坐标为（﹣4，）；

②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8）．

∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（﹣4，0），

∴AC＝10．

∵△AOB∽△AP2C，

∴＝，即＝，

∴CP2＝8，

∴＝8，

整理，得：（m﹣4）2＝0，

解得：m＝，

∴点P2的坐标为（，）．

综上所述：点P的坐标为（﹣4，）或（，）．