【题目】如图,设椭圆C1: + =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是 .
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.
【答案】
(1)解:∵椭圆C1: + =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,∴a=2,
又∵椭圆C1的离心率是 .∴c= ,b=1,∴椭圆C1的标准方程:
(2)解:过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立 得y2﹣8my﹣16=0.
y1+y2=8m,y1y2=﹣16,∴|AB|= =8(1+m2).
过F且与直线l垂直的直线设为:y=﹣m(x﹣2)
联立 得(1+4m2)x2﹣16m2x+16m2﹣4=0,
xC+2= ,xC= .
∴|CF|= .
△ABC面积s= |AB||CF|= .
令 ,则s=f(t)= ,f′(t)= ,
令f′(t)=0,则t2= ,即1+m2= 时,△ABC面积最小.
即当m=± 时,△ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为:x=± y+2
【解析】(1)由已知可得a,又由椭圆C1的离心率得c,b=1即可.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1 , y1),B(x2 , y2)联立 得y2﹣8my﹣16=0.|AB|= ,同理得|CF|= .△ABC面积s= |AB||CF|= .令 ,则s=f(t)= ,利用导数求最值即可.
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【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1E⊥CD,AB=2BC=2.
(1)求证:BC⊥D1E;
(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为 ,求线段D1E的长度.
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【题目】哈六中在2017年3月中旬举办了一次知识竞赛,经过层层筛选,最后五名同学进入了总决赛.在进行笔答题知识竞赛中,最后一个大题是选做题,要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答,假设这5位选手选做每一题的可能性均为 . (Ⅰ)求其中甲乙2位选手选做同一道题的概率.
(Ⅱ)设这5位选手中选做第1题的人数为X,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数f(x)= ,若关于x的不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣ ,﹣ )
B.[ , )
C.(﹣ ,﹣ ]
D.(﹣1,﹣ ]
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【题目】已知函数f(x)=Acos2(x+φ)+1(A>0,>0,0<φ< )的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)的值为( )
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739
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【题目】如图,在多面体ABCDEF中,正三角形BCE所在平面与菱形ABCD所在的平面垂直,FD⊥平面ABCD,且 .
(1)判断直线EF平面ABCD的位置关系,并说明理由;
(2)若∠CBA=60°,求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,过点B作BD⊥AC于点D , 过D作DE∥BC , 且DE=CD , 连接CE ,
(1)求证:△CDE为等边三角形;
(2)请连接BE , 若AB=4,求BE的长.
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【题目】某市招聘教师,对应聘者分别进行教学能力、科研能力、组织能力三项测试,其中甲、乙两人的成就如下表:(单位:分)
项目 | 教学能力 | 科研能力 | 组织能力 |
甲 | 86 | 93 | 73 |
乙 | 81 | 95 | 79 |
(1)根据实际需要,将阅读能力、科研能力、组织能力三项测试得分按5:3:2的比确定最后成绩,若按此成绩在甲、乙两人中录用一人,谁将被录用?
(2)按照(1)中的成绩计算方法,将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每组分数段均包含左端数值,不包含右端数值),并决定由高分到低分录用8人.甲、乙两人能否被录用?请说明理由.
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